1. 案例目的
这篇教程将带你轻松搞懂递归的奇妙思想！我们会学习如何用简单的代码让程序“自己调用自己”，从而画出各种复杂又漂亮的分形图案。教程还会结合经典又有趣的“Turtle”海龟绘图，让你亲眼看到编程的神奇和乐趣——快来一起试试吧！
2. 使用材料
3. 软件平台
4. 理论知识
递归原理：
大事化小，小事一样做 把一个大问题拆成几个“更小、但长得像”的小问题，然后这些小问题再用同样的方法去拆解。
一定要喊停，不然会没完没了 递归不能无限拆下去，必须有一个“停下来的条件”。比如拆到无法再拆的最小问题时，就直接给出答案，不再继续。
举例：一个电影院的“传话”故事
想象你在一个黑漆漆的电影院里，想知道自己坐在第几排。
你的动作： 你拍了拍前面那排人的肩膀，问：“哥们，请问这是第几排？”
递归发生： 前面那个人也不知道，于是他也拍了拍他前面的人…… 这个过程一直持续下去。
临界点（出口）： 直到问到了第一排的人。第一排的人一看前面没座儿了，很确定地回答：“我是第一排！”
结果回传：一直到第一排告诉第二排：“我是1。”
第二排心想：“哦，那我是1 + 1 = 2。” 然后告诉第三排。
信息就这样一排排传回来，最后你得到了答案。
这就是递归： 你把一个大问题（我要知道我是第几排），拆解成一个个一模一样的小问题（问前面的人），直到碰到一个不需要计算就知道答案的人（第一排），然后再把结果一层层收回来。
科赫雪花
你有没有发现，真正的雪花放大之后，边缘并不是光滑的，而是弯弯曲曲、越来越细碎？
数学家科赫在1904年就想：能不能用一条简单的规则，画出一片无限复杂的雪花？
于是，他发明了“科赫雪花”——一个用递归“长”出来的神奇图形。
绘制规则：
第 0 步：先画一个等边三角形。
第 1 步：每条边分成三段，把中间一段“凸”出一个小三角形。
第 2 步：对新的每一条边再做同样的操作。
第 3 步：继续重复……边会越来越多，图形越来越像精致的雪花。
海龟绘图积木：
把“Turtle”想象成一个拿着自动铅笔的小机器人，你写“行走计划”，它就负责照做，边走边画。
- 抬笔与落笔：你可以把海龟想象成自己手里拿着一支画笔。当笔尖落在画布上时，你只要移动手，就能画出五彩斑斓的线条——这就是落笔。海龟也是一样：落笔后，它每走一步都会留下痕迹。那什么时候需要抬笔呢？比如你画完一段线，想把画笔移到另一个位置重新画，又不想让移动的路线留下乱七八糟的痕迹，这时候就可以把笔尖抬起来，悄悄走过去，再落笔继续画。
- 前进：这个积木是控制海龟移动最重要的命令。你只需要在它的参数框里填入一个数字，这个数字的单位是像素点（屏幕上最小的距离单位）。像素点的数值直接决定了画笔痕迹的长度——比如你填
10，海龟就会向前移动 10 个像素点，画出一条 100 像素长的线段。
旋转：这个积木用来改变海龟当前的朝向，也就是它下一步前进的方向，你需要填入一个数字，单位是角度（°）。
填入正数（如
90），海龟会顺时针旋转对应角度。填入负数（如
-90），海龟会逆时针旋转对应角度。注意：这个积木只改变方向，不会移动海龟，也不会画出任何线条。
- 画笔精准移动：如果你已经知道画笔要去的位置（比如屏幕上某个点的 x 和 y 坐标），就不需要使用“前进”一步一步走着过去。直接用这个积木，输入目标位置的 x 值和 y 值，海龟就会快速移动到那里
- 颜色更改：可以通过下面两个积木进行背景颜色更改与画笔颜色调整。
5. 绘制一棵分形树
- 添加积木库：想不想让小海龟听从你的指令，在屏幕上画出各种有趣的图形？很简单！在“MicroBlocks”编程环境里，只要进入左侧的“图形与显示”分类，找到“海龟库”这个模块，点击“添加积木库”，你的小海龟就准备好动笔啦！
- 小试牛刀：想不想画出像雪花、树杈那样神奇的分形图案？别急，我们先从最简单的开始——用海龟绘图画一个等边三角形。别看它简单，这可是你迈向“分形大师”的第一步哦！一起来试试吧！
先选一支你喜欢的画笔颜色吧！为了让画出来的图案既好看又居中，我们可以先把小海龟挪到屏幕中间的位置，然后再让笔尖落下，准备开画！
画等边三角形其实很简单：
让小海龟先向前走一段，画出一条边；
然后旋转 120°，再继续走一条边；
把“走边 + 旋转”这两个动作重复执行 3 次，一个漂亮的等边三角形就完成啦！
- 递归分形树：
接下来，我们来画一棵会“自己长分叉”的神奇树——分形树。
仔细观察，它的生长规则其实很简单：
第 0 步：先画一根笔直的主干，就像树干一样。
第 1 步：在主干的最顶端，向左、向右各画一根稍短的树枝。
第 2 步：把每一根新长出来的树枝，都当成一根“小主干”。重复刚才的动作——在它们顶端再分两根更短的树枝。
第 3 步：重复上面这几步，分叉越来越多，越来越细…… 只要这样重复几次，一棵枝繁叶茂的树就神奇地出现啦！
是不是很像在变魔法？这种“自己调用自己”的规则，在编程里就叫递归。别怕名字吓人，跟着步骤一步步画，你也能轻松画出一棵分形树！
在使用“递归”这个方法之前，最重要的一步是什么？
先想好什么时候停下来！
就像前面“电影院”的例子一样——你必须确定在某个条件下，能直接得到答案，不再继续往下问。
如果不设定停止条件，递归就会一直没完没了地运行下去，最后电脑和机器人都会“卡住”不动，就像掉进了无限循环的迷宫里一样出不来。
观察这棵分形树，你会发现：每分叉一次，新长出的树枝都会比原来的更短。
所以，我们可以给递归设定一个停止条件：当树枝的长度小到某个值（比如小于 5）时，就不再继续分叉了。
另外，和“电影院例子”一样，递归到了最底层不能只是“停下”，还得把结果传回来（绘制最后一个分支并返回）。
因此，我们需要自己建一个“自定义积木”，在里面写清楚：
：
PS：在递归中，“返回 0” 这个积木非常重要。它的作用是：结束当前这一层的调用，回到上一层，让整个递归过程能够顺利地“一层层收回来”。当然，不用“返回 0”也可以实现同样的效果。你可以直接用 “如果…否则…” 结构来写。
接下来，我们就把整棵分形树画出来啦！步骤是这样的：
画主干：先让小海龟向前走，画出当前长度的主干。
画左侧分支：把画笔向左转一个角度，然后用更短的长度画出左边的树枝。
画右侧分支：把画笔再向右转（两个角度），画出右边的树枝。
别忘了回退：画完左右分支后，小海龟还停在分叉的顶端，需要把它原路退回到分叉点，并且转回原来的方向，这样才能继续让上一级的递归正常返回。
完整的积木定义如下，两种方式均可以：
在编写主程序时，我们可以先给小海龟安排一个落笔位置：
把画笔放在屏幕下方的某个地方，然后用 “面向-90度”（也就是朝上）积木让它抬起头来。这样画出来的树就能一路向上生长，有足够大的空间伸展枝丫，不会挤在屏幕中间啦！：
6. 尝试绘制科赫雪花
前面我们说过，科赫雪花的绘制规则是：把每一条线段三等分，再在中间一段上“凸起”一个小山包。
如果一直这样分下去，线段的长度会越来越短，分叉的“层数”会越来越多。
因此，在自定义积木里，我们需要两个输入：
长度（当前线段的长度）
层数（还剩多少次“细分”机会）
递归的终止条件就是： 当层数 = 0 时，不再细分，直接画一条长度为“长度”的直线。
在科赫雪花的递归中，深度决定了我们“分几次”把直线变出锯齿，长度决定了当前线段有多长
为什么深度每次要 -1？
想象你在玩“剥洋葱”游戏： 每剥掉一层，洋葱就小一圈，剩下的层数也少一层。 画科赫雪花也一样：每画一层（做一次“三等分→凸起”）， 剩下的“细分次数”就少一次。 所以下一次调用时，深度 = 深度 - 1。 当深度变成 0，就说明“剥完了”，不用再细分，直接画直线就好啦！
为什么长度每次要除以 3？
还记得吗？科赫雪花的魔法是： 把 1 条线段 变成 4 条小线段，每条小线段的长度只有原来的 1/3。 就像一根 30 厘米的吸管，你把它剪成 3 等份，中间那段拱起来，就变成了 4 段 10 厘米的小吸管。 所以下一次递归时，每一小段的长度就是 长度 ÷ 3。 一层一层这样除下去，线段越来越短，锯齿越来越密，雪花就越来越漂亮！详细步骤如下：
画科赫曲线（长度/3，深度-1）
左转 60°
画科赫曲线（长度/3，深度-1）
右转 120°
画科赫曲线（长度/3，深度-1）
左转 60°
画科赫曲线（长度/3，深度-1）
PS：
左转 60° 和右转 120° 恰好构成一个等边三角形的两个边（外角 120° 等于两次 60° 转向）。
最后再左转 60° 是为了恢复海龟的原始方向，这样画下一段时不会偏。
我们已经做好的“画科赫曲线”积木，就像搭好了一片雪花的一片“小羽毛”。但别忘了，一片完整的雪花需要 3 条这样的边哦！所以，在主程序里，我们要重复调用 3 次这个积木，每画完一条边，就让小海龟右转 120°，换一个方向画下一条边。三条边首尾相连，一朵漂亮的科赫雪花就绽放在屏幕上了：
以上所有的代码参考示例：